Variation globale : Fonction dérivée - Enseignement scientifique
Variations d'une fonction
Exercice 1 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-20, 20]], "scale": [30.0, 5.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -5.0 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 1.0))?(5.6943359375 + 2.42578125*x - 0.0087890625*Math.pow(x, 4) - 0.16796875*Math.pow(x, 3) - 0.943359375*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(5.20601851851852 + 0.342592592592593*Math.pow(x, 3) + 3.89814814814815*x - 0.0162037037037037*Math.pow(x, 4) - 2.43055555555556*Math.pow(x, 2)):(6.0 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 1.0))?(3.0*Math.pow(0.125 - 0.125*x, 3) + Math.pow(0.125 - 0.125*x, 2)*(7.875 + 1.125*x) + 24.0*Math.pow(0.875 + 0.125*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(3.0 - 3.0*x) - 6.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -12.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -1.0))?(12.7037037037037 - 0.0185185185185185*Math.pow(x, 4) - 1.94444444444444*Math.pow(x, 2) - 0.351851851851852*Math.pow(x, 3) - 2.9074074074074*x):(((((x) <= 7.0))?(13.1735026041667 + 0.147135416666667*Math.pow(x, 3) - 0.0087890625*Math.pow(x, 4) - 0.505859375*Math.pow(x, 2) - 1.48828125*x):(0.333333333333371 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -1.0))?(-2.0*Math.pow(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(-7.0 - 1.0*x) + 12.0*Math.pow(1.16666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(0.125 + 0.125*x, 3) + Math.pow(0.875 - 0.125*x, 2)*(-2.0 - 2.0*x) + 3.0*Math.pow(0.125 + 0.125*x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-25, 25]], "scale": [30.0, 4.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.0 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 3.0))?(-14.063 + 0.007*Math.pow(x, 4) + 0.168*Math.pow(x, 2) + 0.106*Math.pow(x, 3) - 4.626*x):(((((x) <= 7.0))?(3.15624999999999 + 0.03125*Math.pow(x, 4) + 6.5625*Math.pow(x, 2) - 0.75*Math.pow(x, 3) - 22.5*x):(-29.0 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 3.0))?(-1.0*Math.pow(0.3 - 0.1*x, 3) + Math.pow(0.3 - 0.1*x, 2)*(-2.1 - 0.3*x) - 30.0*Math.pow(0.7 + 0.1*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(-0.75 + 0.25*x, 3) + Math.pow(1.75 - 0.25*x, 2)*(-9.0 + 3.0*x) + 6.0*Math.pow(-0.75 + 0.25*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-9, 9]], "scale": [30.0, 11.11111111111111], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -14.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(11.6666666666667 - 0.0116618075801749*Math.pow(x, 4) - 1.0*Math.pow(x, 2) - 0.210884353741497*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(11.6666666666667 + 0.210884353741497*Math.pow(x, 3) - 0.0116618075801749*Math.pow(x, 4) - 1.0*Math.pow(x, 2)):(x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((2 + x) <= -7))?(-1):(((((2 + x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(2 + x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(2 + x, 2)*(-3.85714285714286 - 0.428571428571429*x) - 2.0*Math.pow(1.28571428571429 + 0.142857142857143*x, 2)*(2 + x)):(((((2 + x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(2 + x, 3) + 0.0612244897959184*Math.pow(2 + x, 2)*(0.714285714285714 - 0.142857142857143*x) - 2.0*Math.pow(0.714285714285714 - 0.142857142857143*x, 2)*(2 + x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 2 : Etablir le tableau de variations d'une fonction à partir du tableau de signes de sa dérivée
Soit une fonction \(f\) dont le tableau de signes
de sa dérivée est donné ci-dessous :
{"n_intervals": 4, "edges": [-10, -8, -1, 2, 5], "variations_values": [6, 9, -1, 5, -8], "variations": ["+", "-", "+", "-"], "signe": ["+", "-", "+", "-"], "signe_values": [0, 0, 0], "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "has_edges": false}
Etablir le tableau de variations de \(f\) en sachant que : \(f(-10) = 6\) ; \(f(-8) = 9\) ; \(f(-1) = -1\) ; \(f(2) = 5\) ; \(f(5) = -8\).
Exercice 3 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3
Soit \(f\) une fonction de degré 3 :
\[f: x \mapsto 6x^{2} + 32x + \dfrac{1}{3}x^{3}\]Déterminer \(f'(x)\)
Étudier le signe de \(f'\)
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-10; 10\right]\).
Exercice 4 : Tableau de variations de kx², sur [0; 5]
Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto -4x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[0; 4\right]\).
Exercice 5 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3 (version simplifiée)
Soit \(f\) une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle
\(\left[-9; 4\right]\) par :
\[f: x \mapsto - x^{3} -9x^{2} + 21x -67\]
On notera \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).Déterminer pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[-9; 4\right]\),
l'expression de \(f'(x)\).
Parmi les expressions ci-dessous, laquelle correspond à \(f'(x)\) pour
tout \(x\) de l'intervalle \(\left[-9; 4\right]\) ?
Étudier le signe de \(f'\) pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle
\(\left[-9; 4\right]\).
En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle
\(\left[-9; 4\right]\).